\chapter{欧内斯特·卢瑟福的科学贡献及其理论推导}
\author{李国斌}
\date{2025.08.29}

	\begin{abstract}
		欧内斯特·卢瑟福（Ernest Rutherford, 1871-1937），被誉为核物理学之父，其一系列开创性的实验与研究彻底革新了人类对原子结构的认知。本文系统论述了卢瑟福的两项最核心贡献：其一，基于α粒子散射实验提出了原子的行星模型（核式结构），并给出了该模型的微分截面公式（卢瑟福公式）的理论推导；其二，通过人工核嬗变实验发现了质子。本文还将简要介绍其在放射性领域的研究工作。卢瑟福的工作为现代原子物理学和粒子物理学奠定了坚实的实验与理论基础。
		\par \textbf{关键词：} 卢瑟福；行星模型；α散射；卢瑟福公式；质子；放射性
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	20世纪初，J.J.汤姆逊（J.J. Thomson）提出的"枣糕模型"（Plum Pudding Model）是原子结构的主流理论。该模型认为正电荷均匀分布在整个原子球体内，电子则镶嵌其中。为验证此模型，卢瑟福及其助手盖革（Geiger）与马斯登（Marsden）于1909年进行了著名的α粒子散射实验（金箔实验）。实验结果与"枣糕模型"的预测完全不符，极少数α粒子发生了大角度偏转，这一现象"如此难以置信，就好像你用一枚15英寸的炮弹射击一张薄纸，炮弹却被反弹回来击中了你一样"\cite{rutherford1911}。基于此，卢瑟福于1911年提出了全新的原子"行星模型"，即原子由一个微小、致密、带正电的原子核和绕核运动的电子组成。
	
	\section{卢瑟福行星模型与α散射理论}
	
	\subsection{实验概述}
	实验装置如图\ref{fig:scattering}所示。从放射性源放射出的α粒子（带$+2e$电荷）束经过准直后，轰击极薄的金箔。周围的硫化锌闪烁屏用于观测不同散射角$\theta$下的α粒子分布。
	
	\begin{figure}[h!]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8, >=Stealth]
			% Coordinate system
			\draw[->] (0,0) -- (10,0) node[right] {$x$};
			\draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$y$};
			
			% Alpha source and collimator
			\draw[fill=gray!30] (0,0) rectangle (1,0.3);
			\draw[fill=gray!30] (0,0) rectangle (1,-0.3);
			\node at (0.5, -0.7) {放射源};
			
			% Alpha particles beam
			\foreach \y in {-0.2, 0, 0.2} {
				\draw[->, red, thick] (1,\y) -- (3,\y);
			}
			\node[red] at (2, 0.5) {$\alpha$粒子束};
			
			% Gold foil
			\draw[fill=yellow!30] (4,-1.5) rectangle (4.2,1.5);
			\draw[pattern=north east lines, pattern color=yellow] (4,-1.5) rectangle (4.2,1.5);
			\node[rotate=90] at (4.6, 0) {金箔};
			
			% Detector screen
			\draw[thick, blue] (7,-2.5) arc (-30:30:5);
			\node[blue] at (8.5, 0) {闪烁屏};
			
			% Scattering trajectories
			% Direct path
			\draw[->, dashed, green!50!black] (3,0) -- (4,0);
			\draw[->, dashed, green!50!black] (4.2,0) -- (10,0);
			
			% Small angle scattering
			\draw[->, dashed, orange] (3,0.1) -- (4,0.1);
			\draw[->, dashed, orange] (4.2,0.1) to[out=0, in=160] (6,0.5);
			\draw[->, dashed, orange] (6,0.5) -- (7.5,1);
			
			% Large angle scattering
			\draw[->, dashed, magenta] (3,-0.1) -- (4,-0.1);
			\draw[->, dashed, magenta] (4.2,-0.1) to[out=0, in=20] (4.5,-1);
			\draw[->, dashed, magenta] (4.5,-1) to[out=200, in=0] (3,-2);
			
			% Back scattering
			\draw[->, dashed, red] (3,0.2) -- (4,0.2);
			\draw[->, dashed, red] (4.2,0.2) to[out=0, in=340] (4.3,0.5);
			\draw[->, dashed, red] (4.3,0.5) to[out=160, in=0] (2,1);
			\draw[->, dashed, red] (2,1) -- (0.5,1.5);
			
			% Labels
			\node at (2, -2.5) {绝大多数$\alpha$粒子直接穿过};
			\node[orange] at (6, -2) {少数小角度偏转};
			\node[magenta] at (3, -2.8) {大角度偏转};
			\node[red] at (0.5, 2.2) {极少数反弹};
		\end{tikzpicture}
		\caption{α粒子散射实验示意图。绝大多数α粒子直接穿过，少数发生小角度偏转，极少数发生大角度偏转甚至反弹。}
		\label{fig:scattering}
	\end{figure}
	
	\subsection{理论推导：卢瑟福公式}
	卢瑟福散射的理论核心是库仑相互作用下的经典散射。
	
	\subsubsection{假设}
	\begin{enumerate}
		\item 原子核质量远大于α粒子质量，可视为静止不动。
		\item 原子核尺寸远小于原子尺寸，且散射过程中α粒子与原子核的距离足够大，核力可忽略，仅考虑库仑斥力。
		\item 金箔足够薄，α粒子至多只与一个原子核发生显著散射，且多次散射可忽略。
	\end{enumerate}
	
	\subsubsection{轨道方程与偏转角}
	设α粒子质量为$m$，速度为$v_0$，电荷为$Ze$（$Z=2$）。金原子核电荷为$Ze$（对于金，$Z=79$）。两者间的库仑斥力为：
	\begin{equation}
		F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{(Ze)(Ze')}{r^2}
	\end{equation}
	该力是中心保守力，因此角动量和能量守恒。采用如图\ref{fig:hyperbola}所示的双曲线坐标系。
	
	\begin{figure}[h!]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=Stealth]
			% Coordinate system
			\draw[->] (-1,0) -- (4,0) node[right] {$x$};
			\draw[->] (0,-2) -- (0,2) node[above] {$y$};
			
			% Nucleus
			\filldraw[red] (0,0) circle (2pt) node[below left] {原子核};
			
			% Asymptotes
			\draw[dashed] (-1,-1) -- (3,3);
			\draw[dashed] (-1,1) -- (3,-3);
			
			% Hyperbolic trajectory
			\draw[thick, blue, ->] plot[smooth] coordinates {
				(3.5,1.8) (2.5,1.2) (1.5,0.6) (0.8,0.2) (0.4,0) (0.8,-0.2) (1.5,-0.6) (2.5,-1.2) (3.5,-1.8)
			};
			
			% Impact parameter line
			\draw[dashed, green!50!black] (3.5,0) -- (3.5,1.8);
			\draw[<->, green!50!black] (3.2,0) -- (3.2,1.8) node[midway, left] {$b$};
			
			% Angles
			\draw[->] (1,0) arc (0:30:1) node[midway, right] {$\theta/2$};
			\draw[->] (1,0) arc (0:-30:1) node[midway, right] {$\theta/2$};
			
			% Distance labels
			\draw[<->] (0,-0.3) -- (0.8,-0.3) node[midway, below] {$r_{\text{min}}$};
			
			% Incoming and outgoing paths
			\draw[->, thick, orange] (3.5,1.8) -- (3.0,1.5);
			\draw[->, thick, orange] (3.5,-1.8) -- (3.0,-1.5);
			
			% Scattering angle
			\draw[->] (2.5,0.5) arc (30:-30:0.7) node[right] {$\theta$};
		\end{tikzpicture}
		\caption{α粒子在原子核库仑场中的双曲线运动轨迹。$b$为瞄准距离，$\theta$为散射角。}
		\label{fig:hyperbola}
	\end{figure}
	
	\begin{itemize}
		\item \textbf{瞄准距离（Impact Parameter）} $b$：入射α粒子轨迹与原子核的垂直距离。
		\item \textbf{散射角} $\theta$：粒子入射方向与出射方向间的夹角。
	\end{itemize}
	
	通过求解轨道方程，可得瞄准距离$b$与散射角$\theta$的关系：
	\begin{equation}
		b = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{ZZ'e^2}{m v_0^2} \cot\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{k}{2} \cot\left(\frac{\theta}{2}\right)
		\label{eq:b_theta}
	\end{equation}
	其中 $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2ZZ'e^2}{m v_0^2}$。
	
	\subsubsection{微分截面（Differential Cross Section）}
	散射实验的观测结果是不同角度上的粒子数分布，需用"散射截面"这一统计概念来描述。
	
	设单位时间内有$N$个α粒子入射。瞄准距离在$b$到$b+db$范围内的粒子将散射到角度$\theta$到$\theta + d\theta$的立体角$d\Omega$内。
	
	入射粒子数：$dN = N \cdot 2\pi b |db|$
	
	立体角：$d\Omega = 2\pi \sin\theta |d\theta|$
	
	散射截面定义为单位流量、单位靶核的散射概率。微分散射截面$\sigma(\theta)$定义为：
	\begin{equation}
		d\sigma = \frac{dN}{N} = 2\pi b |db| = \sigma(\theta) d\Omega = \sigma(\theta) 2\pi \sin\theta |d\theta|
	\end{equation}
	
	因此，
	\begin{equation}
		\sigma(\theta) = \frac{b}{\sin\theta} \left| \frac{db}{d\theta} \right|
		\label{eq:sigma_general}
	\end{equation}
	
	将公式(\ref{eq:b_theta})代入公式(\ref{eq:sigma_general})。首先求导数：
	\begin{equation*}
		\frac{db}{d\theta} = \frac{d}{d\theta} \left[ \frac{k}{2} \cot(\frac{\theta}{2}) \right] = \frac{k}{2} \left( -\frac{1}{2}\csc^2(\frac{\theta}{2}) \right) = -\frac{k}{4} \csc^2(\frac{\theta}{2})
	\end{equation*}
	取其绝对值：
	\begin{equation*}
		\left| \frac{db}{d\theta} \right| = \frac{k}{4} \csc^2(\frac{\theta}{2})
	\end{equation*}
	
	再将$b$和$\left| \frac{db}{d\theta} \right|$代入(\ref{eq:sigma_general})：
	\begin{align*}
		\sigma(\theta) &= \frac{ \frac{k}{2} \cot(\frac{\theta}{2}) }{ \sin\theta } \cdot \frac{k}{4} \csc^2(\frac{\theta}{2}) \\
		&= \frac{k^2}{8} \frac{ \cot(\frac{\theta}{2}) \csc^2(\frac{\theta}{2}) }{ \sin\theta }
	\end{align*}
	利用三角恒等式$\sin\theta = 2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})$和$\cot(\frac{\theta}{2}) = \frac{\cos(\frac{\theta}{2})}{\sin(\frac{\theta}{2})}$，$\csc(\frac{\theta}{2}) = \frac{1}{\sin(\frac{\theta}{2})}$进行化简：
	\begin{align*}
		\sigma(\theta) &= \frac{k^2}{8} \frac{ \left( \frac{\cos(\frac{\theta}{2})}{\sin(\frac{\theta}{2})} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sin^2(\frac{\theta}{2})} \right) }{ 2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2}) } \\
		&= \frac{k^2}{8} \frac{ \cos(\frac{\theta}{2}) }{ \sin^3(\frac{\theta}{2}) } \cdot \frac{1}{ 2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2}) } \\
		&= \frac{k^2}{16} \frac{1}{ \sin^4(\frac{\theta}{2}) }
	\end{align*}
	
	最后，将$k$的表达式代回，得到著名的\textbf{卢瑟福散射公式}：
	\begin{equation}
		\boxed{
			\sigma(\theta) = \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \right)^2 \left( \frac{ZZ'e^2}{4m v_0^2} \right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)}
		}
		\label{eq:rutherford}
	\end{equation}
	
	该公式预言：
	\begin{enumerate}
		\item 散射粒子数与$\sin^4(\theta/2)$成反比。这意味着大角度散射的概率极其微小，完美解释了为何只有极少数α粒子发生大角度偏转。
		\item 散射粒子数与原子核电荷数$Z^2$成正比。卢瑟福后来通过比较不同金属靶的实验结果，验证了这一关系，并由此估算出原子核的电荷数，推动了元素周期表的发展。
		\item 散射粒子数与入射粒子动能$（\frac{1}{2}mv_0^2）$的平方成反比。能量越低的α粒子越容易被散射。
	\end{enumerate}
	
	\section{发现质子与人工核嬗变}
	在确立原子核存在后，卢瑟福开始探索其组成。1917-1919年，他用α粒子轰击氮气，发现在闪烁屏上出现了异常的长射程粒子。经研究，他确认该粒子是氢原子核，即质子($^1_1H$)，并意识到氮核被α粒子击中后发生了转变：
	\begin{equation}
		^{14}_{7}\mathrm{N} + ^{4}_{2}\mathrm{He} \rightarrow ^{17}_{8}\mathrm{O} + ^{1}_{1}\mathrm{H}
	\end{equation}
	这是历史上首次实现的人工核反应（核嬗变），表明元素是可以转化的，并证明了质子是原子核的一个基本组分。
	
	\section{放射性方面的贡献}
	早在1899年，卢瑟福在研究铀和钍的放射性时，根据穿透能力的不同，区分了两种不同类型的辐射：
	\begin{itemize}
		\item $\alpha$射线：由带正电的氦核（$^4_2He^{2+}$）组成，穿透力弱。
		\item $\beta$射线：由高速电子流组成，穿透力较强。
	\end{itemize}
	后来他的助手发现了穿透力极强的$\gamma$射线（高频光子）。
	\par 他与弗雷德里克·索迪（Frederick Soddy）合作，于1902年提出了放射性衰变理论，指出放射性是原子自发衰变为另一种原子的过程，并引入了"半衰期"的概念。这项工作为其赢得了\textbf{1908年诺贝尔化学奖}。
	
	\section{结论}
	欧内斯特·卢瑟福通过严谨的实验设计和深刻的理论洞察，完成了从"枣糕模型"到"行星模型"的革命性跨越。他所提出的原子核式结构模型及其相应的卢瑟福散射公式，是物理学史上的里程碑。随后发现的质子与实现的人工核嬗变，则开启了人类探索原子核内部结构的新纪元。他的工作不仅奠定了核物理学的基础，更塑造了整个现代物理学的面貌，其影响深远至今。
	
	\begin{thebibliography}{99}
		\bibitem[rutherford1911]{rutherford1911} Rutherford, E. (1911). The Scattering of α and β Particles by Matter and the Structure of the Atom. \textit{Philosophical Magazine}, 6(21), 669-688.
		\bibitem[geiger1909]{geiger1909} Geiger, H., \& Marsden, E. (1909). On a Diffuse Reflection of the α-Particles. \textit{Proceedings of the Royal Society}, 82A, 495-500.
		\bibitem[rutherford1919]{rutherford1919} Rutherford, E. (1919). Collision of α Particles with Light Atoms. IV. An Anomalous Effect in Nitrogen. \textit{Philosophical Magazine}, 37(222), 581-587.
	\end{thebibliography}
	